จำนวนเต็มมีทั้ง บวก (+) และ ลบ (−)
มีกฎง่ายๆ 2 กรณี คือ เครื่องหมายเหมือนกัน กับ เครื่องหมายต่างกัน
การลบ ไม่ต้องคิดแยก — แค่เปลี่ยนเป็นการบวกแล้วกลับเครื่องหมายตัวหลัง
สูตร: ตัวตั้ง − ตัวลบ = ตัวตั้ง + (−ตัวลบ)
กฎเครื่องหมายสำหรับ × และ ÷ เหมือนกันเลย — จำแค่ว่า
เครื่องหมายเหมือนกัน = ได้บวก | เครื่องหมายต่างกัน = ได้ลบ
| เครื่องหมาย | ผลลัพธ์ | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| $(+)\times(+)$ | $(+)$ | $5\times3=15$ |
| $(-)\times(-)$ | $(+)$ | $(-5)\times(-3)=15$ |
| $(+)\times(-)$ | $(-)$ | $5\times(-3)=-15$ |
| $(-)\times(+)$ | $(-)$ | $(-5)\times3=-15$ |
เวลามีหลายการดำเนินการในสมการเดียว ต้องทำตามลำดับนี้เสมอ — ห้ามทำจากซ้ายไปขวาอย่างเดียว
$a^n$ หมายถึงเอา $a$ คูณกันทั้งหมด $n$ ครั้ง
เช่น $2^4 = 2\times2\times2\times2 = 16$
เรียก $a$ ว่า ฐาน (Base) และ $n$ ว่า เลขชี้กำลัง (Exponent)
มีสมบัติ 5 ข้อหลัก จำให้ขึ้นใจเพราะใช้บ่อยมาก
กำลังศูนย์: ตัวเลขอะไรก็ตาม (ไม่ใช่ศูนย์) ยกกำลัง 0 จะได้ 1 เสมอ
กำลังลบ: หมายถึงเอาไปไว้ข้างล่างเศษส่วน (ส่วนกลับ)
$\sqrt{a}$ คือตัวเลขที่เอามายกกำลัง 2 แล้วได้ $a$
เช่น $\sqrt{9}=3$ เพราะ $3^2=9$
รากที่ n เขียนแทนได้ด้วยเลขยกกำลังเศษส่วน
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ เช่น $\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = 2$
การกระจาย คือการนำตัวด้านหน้าคูณเข้าไปทุกพจน์ในวงเล็บ
ใช้ทั้งตอน "กระจายออก" และ "รวมเข้า (factoring)"
สูตรพิเศษที่ช่วยให้กระจายและแยกตัวประกอบได้เร็ว — ควรจำให้ขึ้นใจ 3 สูตร
แยกตัวประกอบคือ ย้อนกลับจากการกระจาย
มีเทคนิคหลักๆ 4 แบบ เลือกใช้ตามรูปแบบของโจทย์
สมการที่มี $x^2$ อยู่ด้วย รูปทั่วไปคือ $ax^2+bx+c=0$
แก้ได้ 2 วิธีหลัก: แยกตัวประกอบ (ถ้าทำได้) หรือ ใช้สูตร
ฟังก์ชัน คือ "กล่อง" ที่รับค่า input เข้าไป 1 ค่า แล้วคายค่า output ออกมา 1 ค่าเสมอ
เขียนว่า $f(x)$ — ใส่ค่า $x$ อะไรเข้าไป ก็แทนที่ $x$ ในสูตรได้เลย
กราฟเป็นรูปพาราโบลา (รูปถ้วย) — มีจุดยอดสูงสุดหรือต่ำสุดเป็นจุดหักเหของกราฟ
ฟังก์ชันที่ ตัวแปร $x$ อยู่ที่กำลัง ไม่ใช่ฐาน เช่น $f(x)=2^x$
ใช้มากในชีวิตจริง เช่น การเติบโตของดอกเบี้ยทบต้น, การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี
ลอการิทึมคือ ฟังก์ชันผกผันของเอกซ์โพเนนเชียล
คำถามที่ log ตอบคือ: "ต้องยก $a$ กำลังเท่าไหร่ถึงได้ $x$?"
วิธีแก้สมการ log คือ แปลงกลับเป็นเอกซ์โพเนนเชียล
$\log_a x = k$ → $x = a^k$ | $\ln x = k$ → $x = e^k$
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก เราสนใจ ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวด้าน
มีอัตราส่วนหลัก 3 ตัว: sin, cos, tan — และอีก 3 ตัวที่เป็นส่วนกลับ
มุม 30°, 45°, 60° มีค่า sin/cos/tan ที่ต้องจำ ออกสอบบ่อยมาก
| มุม | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | ไม่นิยาม |
นอกจากวัดมุมเป็นองศา ยังวัดเป็น เรเดียน (radian) ได้ด้วย
เรเดียนคือหน่วยที่ใช้ใน Calculus และวิทยาศาสตร์ — $180° = \pi$ radian
เมื่อมุมอยู่นอกช่วง 0°–90° ค่า sin/cos/tan อาจเป็นบวกหรือลบ
ขึ้นอยู่กับว่ามุมอยู่ใน จตุภาคไหน ของวงกลมหนึ่งหน่วย
สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่า $\theta$ — ใช้พิสูจน์สูตรอื่นๆ และทำให้สมการง่ายขึ้น
เวลามีสมการที่มีหลายการดำเนินการ เช่น บวก ลบ คูณ หาร พร้อมกัน
ถ้าทำตามใจชอบ แต่ละคนจะได้คำตอบต่างกัน! จึงต้องมีกฎกลางที่ทุกคนตกลงกัน
กฎนั้นคือ PEMDAS (หรือเรียกว่า BODMAS ในบางประเทศ)
ปริมาณทางฟิสิกส์ต้องบอกทั้ง ตัวเลข และ หน่วย เสมอ
เช่น บอกว่า "ความยาว 5" ไม่มีความหมาย — ต้องบอกว่า "5 เมตร" หรือ "5 ฟุต"
ระบบมาตรฐานที่โลกยอมรับร่วมกันคือ ระบบ SI (International System of Units)
หน่วยพื้นฐานที่ทุกอย่างสร้างมาจาก 7 หน่วยนี้ — ต้องจำให้ได้
| ปริมาณ | หน่วย | สัญลักษณ์ |
|---|---|---|
| ความยาว | เมตร (meter) | m |
| มวล | กิโลกรัม (kilogram) | kg |
| เวลา | วินาที (second) | s |
| กระแสไฟฟ้า | แอมแปร์ (ampere) | A |
| อุณหภูมิ | เคลวิน (kelvin) | K |
| ความเข้มการส่องสว่าง | แคนเดลา (candela) | cd |
| ปริมาณของสาร | โมล (mole) | mol |
ปริมาณทางฟิสิกส์แบ่งเป็น 2 ประเภทใหญ่ — ต้องเข้าใจก่อนเรียนเรื่องอื่น เพราะวิธีคำนวณต่างกัน
มีแค่ ขนาด — ไม่มีทิศทาง
มีทั้ง ขนาดและทิศทาง
สร้างจากการ คูณหรือหารหน่วยฐาน เข้าด้วยกัน — ไม่ได้ตั้งชื่อใหม่ทั้งหมด
บางหน่วยมีชื่อเฉพาะ (เช่น นิวตัน จูล วัตต์) บางหน่วยเขียนด้วยหน่วยฐานโดยตรง
กลุ่มที่ 1 — หน่วยพื้นฐานที่ไม่มีชื่อเฉพาะ (ต้องสร้างจากหน่วยฐาน)
| ปริมาณ | สัญลักษณ์ | สูตรมาจาก | หน่วย SI | อธิบาย |
|---|---|---|---|---|
| พื้นที่ | A | $\text{ยาว} \times \text{กว้าง}$ | $\text{m}^2$ | เมตรยกกำลังสอง |
| ปริมาตร | V | $\text{ยาว}\times\text{กว้าง}\times\text{สูง}$ | $\text{m}^3$ | เมตรยกกำลังสาม |
| ความเร็ว / อัตราเร็ว | v | $\dfrac{\text{ระยะทาง}}{\text{เวลา}}$ | $\text{m/s}$ | เมตรต่อวินาที |
| ความเร่ง | a | $\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{\text{m/s}}{\text{s}}$ | $\text{m/s}^2$ | เมตรต่อวินาทีกำลังสอง |
| ความหนาแน่น | ρ | $\dfrac{\text{มวล}}{\text{ปริมาตร}}$ | $\text{kg/m}^3$ | กิโลกรัมต่อเมตรกำลังสาม |
| โมเมนตัม | p | $\text{มวล}\times\text{ความเร็ว}$ | $\text{kg·m/s}$ | กิโลกรัมคูณเมตรต่อวินาที |
กลุ่มที่ 2 — หน่วยที่มีชื่อเฉพาะ (Named Derived Units)
| ปริมาณ | ชื่อหน่วย | สัญลักษณ์ | เทียบหน่วยฐาน | ที่มา |
|---|---|---|---|---|
| แรง | นิวตัน | N | $\text{kg·m·s}^{-2}$ | $F=ma$ |
| ความดัน | พาสคัล | Pa | $\text{kg·m}^{-1}\text{·s}^{-2}$ | $P=F/A$ |
| พลังงาน/งาน | จูล | J | $\text{kg·m}^2\text{·s}^{-2}$ | $W=Fd$ |
| กำลัง | วัตต์ | W | $\text{kg·m}^2\text{·s}^{-3}$ | $P=W/t$ |
| ความถี่ | เฮิรตซ์ | Hz | $\text{s}^{-1}$ | $f=1/T$ |
| ประจุไฟฟ้า | คูลอมบ์ | C | $\text{A·s}$ | $Q=It$ |
| ความต่างศักย์ | โวลต์ | V | $\text{kg·m}^2\text{·s}^{-3}\text{·A}^{-1}$ | $V=W/Q$ |
| ความต้านทาน | โอห์ม | Ω | $\text{kg·m}^2\text{·s}^{-3}\text{·A}^{-2}$ | $R=V/I$ |
หน่วยสามารถ คูณ หาร และยกกำลัง ได้เหมือนตัวเลข
หลักสำคัญ: หน่วยด้านซ้ายของ = ต้องเท่ากับหน่วยด้านขวาเสมอ
ใช้ตรวจสอบว่าคำนวณถูกต้องหรือไม่ — ถ้าหน่วยไม่ตรง แสดงว่าทำผิดแน่นอน!
แทนที่จะเขียน 0.000000001 m เราใช้คำอุปสรรคย่อให้สั้นลงเป็น 1 nm (นาโนเมตร)
คำอุปสรรคคือตัวคูณที่วางหน้าหน่วย — แต่ใช้ได้แค่ ตัวเดียวต่อหน่วย
| ชื่อ | สัญลักษณ์ | ตัวคูณ | ตัวอย่าง |
|---|---|---|---|
| เทระ (tera) | T | $10^{12}$ | 1 TB = $10^{12}$ B |
| กิกะ (giga) | G | $10^9$ | 1 GHz = $10^9$ Hz |
| เมกะ (mega) | M | $10^6$ | 1 Mm = $10^6$ m |
| กิโล (kilo) | k | $10^3$ | 1 km = 1000 m |
| (ไม่มีคำอุปสรรค) | — | $10^0 = 1$ | 1 m |
| เซนติ (centi) | c | $10^{-2}$ | 1 cm = 0.01 m |
| มิลลิ (milli) | m | $10^{-3}$ | 1 mm = 0.001 m |
| ไมโคร (micro) | μ | $10^{-6}$ | 1 μm = $10^{-6}$ m |
| นาโน (nano) | n | $10^{-9}$ | 1 nm = $10^{-9}$ m |
| พิโก (pico) | p | $10^{-12}$ | 1 pF = $10^{-12}$ F |
ขั้นตอน: แปลงเป็นหน่วยฐาน → แล้วแปลงไปยังหน่วยที่ต้องการ
เลขนัยสำคัญคือเลขที่ "เชื่อถือได้" จากการวัด — บอกว่าเราวัดได้ละเอียดแค่ไหน
เช่น ถ้าวัดได้ 3.65 m หมายความว่า 3 และ 6 มั่นใจ 100% แต่ 5 เป็นการประมาณตำแหน่งสุดท้าย
ดังนั้นเลขนี้มี 3 นัยสำคัญ
ผลลัพธ์มีทศนิยมหลังจุดน้อยที่สุดเท่ากับตัวที่นำมาบวกลบ
ผลลัพธ์มีนัยสำคัญน้อยที่สุดเท่ากับตัวที่นำมาคูณหาร
การวัดทุกชนิดมีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นเสมอ แบ่งเป็น 3 ประเภทหลัก
เกิดจากความบกพร่องของผู้วัด เช่น อ่านค่าผิด, ตำแหน่งสายตา (Parallax error)
แก้ได้: ฝึกซ้อม ใช้ความระมัดระวัง
เกิดจากเครื่องมือ เช่น เครื่องมือไม่ได้มาตรฐาน, ไม่ Calibrate, ผลกระทบจากสิ่งแวดล้อม
แก้ได้: ใช้เครื่องมือดี, Calibrate ก่อนใช้
เกิดจากธรรมชาติของการทดลอง — ค่าที่วัดได้กระจายรอบค่าเฉลี่ย บางครั้งมากบางครั้งน้อย
เช่น การสลายของสารกัมมันตรังสี, ผลกระทบจากอุณหภูมิที่เปลี่ยนไปเล็กน้อย
แก้ได้: วัดซ้ำหลายๆ ครั้งแล้วหาค่าเฉลี่ย
สองคำนี้ต่างกัน — สับสนบ่อยมาก!
ค่าที่วัดได้ ใกล้เคียงค่าจริง แค่ไหน
เหมือนยิงปืนถูกศูนย์กลาง
วัดซ้ำหลายครั้งแล้วค่า ใกล้เคียงกัน แค่ไหน
เหมือนยิงปืนกระจุกอยู่จุดเดิม (แม้ไม่ถูกศูนย์)
วิธีลดความคลาดเคลื่อนแบบสุ่ม คือวัดซ้ำหลายครั้งแล้วหาค่าเฉลี่ย
บอกว่าค่าที่ทดลองได้ผิดไปจากค่ามาตรฐาน (ค่าจริง) กี่เปอร์เซ็นต์
กราฟช่วยให้เห็น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองตัว ได้ชัดเจน
ถ้าจุดข้อมูลเรียงเป็นเส้นตรง แสดงว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้น
จากนั้นหา ความชัน (slope) เพื่อหาค่าคงที่ทางฟิสิกส์ เช่น ค่านิจสปริง $k$
เลือกสองจุดบนเส้นแนวโน้ม (Trend Line) ที่ไม่ใช่จุดข้อมูลเดิม แล้วคำนวณ
ในฟิสิกส์มีปริมาณที่มี ทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว — เรียกว่า เวกเตอร์
เมื่อเวกเตอร์ทำมุมกับแนวระนาบ เราต้องใช้ sin/cos แยกองค์ประกอบ x และ y
| มุม | $0°$ | $30°$ | $37°$ | $45°$ | $53°$ | $60°$ | $90°$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{4}{5}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| cos | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{4}{5}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| tan | $0$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $\frac{3}{4}$ | $1$ | $\frac{4}{3}$ | $\sqrt{3}$ | $\infty$ |
ใช้หามุม เมื่อรู้ค่า sin/cos/tan — กดปุ่ม shift ก่อนบนเครื่องคิดเลข
สมการคือ ความสมดุล — ถ้าทำอะไรกับด้านหนึ่ง ต้องทำกับอีกด้านด้วยเสมอ
เป้าหมายคือ จัดให้ตัวแปรอยู่คนเดียวด้านหนึ่งของ =
การเขียนแบบคือ "ภาษาสากลของวิศวกร" — ใช้เส้น สัญลักษณ์ และมิติ
สื่อสารรูปร่าง/ขนาดของชิ้นงานให้คนอื่น (ช่าง, โรงงาน) สร้างได้ตรงตามที่ออกแบบ โดยไม่ต้องพูดคุยกัน
กระดาษเขียนแบบมาตรฐานเรียงตามขนาด A0 → A4 โดยพับครึ่งซ้อนทีละขั้น (พื้นที่ลดลงครึ่งหนึ่ง)
| ขนาด | กว้าง × ยาว (mm) | ใช้เมื่อไหร่ |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 | แบบใหญ่ / ป้าย |
| A1 | 594 × 841 | แบบอาคารขนาดใหญ่ |
| A2 | 420 × 594 | แบบทั่วไป |
| A3 | 297 × 420 | ใช้บ่อยในงานชิ้นส่วน |
| A4 | 210 × 297 | แบบเล็ก / เอกสาร |
เส้นต่างชนิดกัน = ความหมายต่างกัน ต้องวาดให้ถูกตามมาตรฐาน
| ชนิดเส้น | ตัวอย่าง | ใช้สำหรับ |
|---|---|---|
| เส้นขอบภาพ (Continuous thick) | เส้นขอบที่มองเห็นจริง | |
| เส้นล่องหน (Hidden/Dashed) | ขอบที่ซ่อนอยู่ด้านหลัง | |
| เส้นศูนย์กลาง (Center/Chain) | แกนกลาง/แกนสมมาตร | |
| เส้นมิติ/เส้นอ้างอิง (Thin) | เส้นบอกขนาด และเส้นยื่นออก | |
| เส้นตัด (Cutting plane) | ระบุตำแหน่งตัดตัด | |
| เส้นแฟนทอม (Phantom) | ตำแหน่งสลับ/เคลื่อนที่ |
อัตราส่วนระหว่างขนาดในแบบกับขนาดจริง เขียนในรูป 1 : X
| ชนิด | ตัวอย่าง | ความหมาย |
|---|---|---|
| ขนาดจริง (Full) | 1 : 1 | วาดเท่าของจริง |
| ย่อขยาย (Enlarged) | 2 : 1, 5 : 1 | วาดใหญ่กว่าจริง (ชิ้นเล็ก) |
| ย่อลด (Reduced) | 1 : 2, 1 : 5, 1 : 10 | วาดเล็กกว่าจริง (ชิ้นใหญ่) |
การฉายภาพ = การสร้าง"มุมมอง"ของวัตถุ 3 มิติลงบนกระดาษ 2 มิติ — แบ่งเป็น 2 กลุ่มใหญ่:
ฉายวัตถุลงบนระนาบ 2 ตัว: HP (Horizontal Plane = มุมมองบน) และ VP (Vertical Plane = มุมมองหน้า) — จากนั้นกางออกบนกระดาษ
ตำแหน่งวัตถุกับระนาบต่างกัน → การจัดเรียงมุมมองบนกระดาษต่างกัน
วาดวัตถุให้เห็น 3 ด้านพร้อมกันโดยเอาแกนเอียง 30° จากแนวนอน 2 ด้าน
แม้วาดรูปถูก แต่ไม่มีตัวเลขขนาด ก็สร้างไม่ได้ — การบอกขนาด = ใส่มิติ (ความยาว, มุม, เส้นผ่านศูนย์กลาง) ให้โรงงานทำได้ตรง
| ชนิด | สัญลักษณ์/รูป | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| เส้นตรง (Linear) | ← n → | ความยาว 50 |
| มุม (Angular) | ° | 45° |
| เส้นผ่านศูนย์กลาง | Ø | Ø20 (รูกลม) |
| รัศมี | R | R10 (มุมโค้ง) |
| เส้นแนวเดียวกัน | ↔ | ระยะระหว่างรู 2 รู |
แผ่นสี่เหลี่ยมกว้าง 60 × สูง 40 มีรูกลมตรงกลาง เส้นผ่านศูนย์กลาง 15
คอมพิวเตอร์ใช้สัญญาณไฟฟ้า 2 ระดับ เลยใช้เลขฐานสอง (0,1) เป็นหัวใจ
แต่คนอ่านยาก เลยเขียนเป็นฐาน 8 หรือ 16 ให้สั้นและอ่านง่าย ส่วนฐาน 10 คือเลขประจำวัน
| ระบบ | ฐาน | ตัวเลขที่ใช้ | เหตุผล |
|---|---|---|---|
| Decimal | 10 | 0–9 | เลขประจำวัน |
| Binary | 2 | 0, 1 | สัญญาณดิจิทัลมี 2 สถานะ |
| Octal | 8 | 0–7 | $2^3=8$ → 3 บิต/หลัก |
| Hexadecimal | 16 | 0–9, A–F | $2^4=16$ → 4 บิต/หลัก |
วิธีเดียวที่ใช้ได้ทุกฐาน: แต่ละหลัก × กำลังของฐาน ตามตำแหน่ง (จากขวา ตำแหน่งที่ 0,1,2,...) แล้วบวก
วิธีเดียวที่ใช้ได้ทุกฐาน: หารด้วยฐานเป้าหมายซ้ำ ๆ เก็บ "เศษ" ของแต่ละครั้ง แล้วอ่านเศษ จากล่างขึ้นบน
ทั้งสามฐานสัมพันธ์กับฐานสองโดยตรง → ไม่ต้องผ่านฐานสิบ แค่จัดกลุ่มบิต
กฎคูณ เหมือนเลขฐานสิบเป๊ะ: $0×\text{อะไร}=0$, $1×1=1$ — คูณทีละบิตแล้วเลื่อนหลัก (shift) ตามตำแหน่ง สุดท้ายบวกเข้าด้วยกัน
คอมพิวเตอร์ไม่มีวงจรลบแยกต่างหาก — เลยแปลง "ลบ" เป็น "บวกเลขเติม 2" เพื่อใช้วงจรบวกตัวเดียว
รหัส Gray — เลขที่นับเพิ่มทีละ 1 จะเปลี่ยนแค่ 1 บิตเสมอ ลดความผิดพลาดในเซ็นเซอร์/สวิตซ์
| ฐาน 10 | Binary | Gray |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0000 |
| 1 | 0001 | 0001 |
| 2 | 0010 | 0011 |
| 3 | 0011 | 0010 |
| 4 | 0100 | 0110 |
| 5 | 0101 | 0111 |
รหัส Excess-3 (XS-3) — เอาเลขฐานสิบแต่ละหลัก +3 แล้วเขียนเป็น 4 บิต (เป็นรหัส self-complementing ใช้ในเครื่องคิดเลขเก่า)
| ฐาน 10 | +3 | XS-3 | ฐาน 10 | +3 | XS-3 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0011 | 5 | 8 | 1000 | |
| 1 | 4 | 0100 | 6 | 9 | 1001 | |
| 2 | 5 | 0101 | 7 | 10 | 1010 | |
| 3 | 6 | 0110 | 8 | 11 | 1011 | |
| 4 | 7 | 0111 | 9 | 12 | 1100 |
ดิจิทัล = มีแค่ 2 ระดับ: 0 = LOW (0V) และ 1 = HIGH (5V/3.3V)
ลอจิกเกต = วงจรที่รับ 0/1 เข้าแล้วให้ 0/1 ออกตาม "ตารางค่าความจริง (Truth Table)"
| A | B | AND A·B | OR A+B | NAND | NOR | XOR A⊕B | XNOR |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
วิธี Sum of Products (SOP): ดูแถวที่ Y = 1 ทั้งหมด → แต่ละแถวเป็น 1 พจน์ (ตัวแปรเป็น 1 เขียนปกติ, เป็น 0 ใส่ขีดบน) → บวกรวม
| A | B | Y | พจน์ (เมื่อ Y=1) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | — |
| 0 | 1 | 1 | $\overline{A}\,B$ |
| 1 | 0 | 1 | $A\,\overline{B}$ |
| 1 | 1 | 0 | — |
พีชคณิตของตรรกะ ตัวแปรมีค่าได้แค่ 0 หรือ 1 ใช้วิเคราะห์/ลดรูปวงจรลอจิก
การดำเนินการ 3 อย่าง: · (AND) + (OR) ขีดบน (NOT)
ใช้สลับ AND ↔ OR เมื่อมี NOT เหนือวงเล็ม
เป้าหมาย: แสดงว่า ด้านซ้าย (LHS) = ด้านขวา (RHS) ในทุกกรณี
วิธี: สร้างตารางค่าความจริงทุกตัวแปร → คำนวณ LHS ทีละขั้น → คำนวณ RHS → ถ้าคอลัมน์ท้ายเท่ากันทุกแถว = สมการเป็นจริง ✓
| A | B | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | LHS $\overline{A}\,\overline{B}$ | $A+B$ | RHS $\overline{A+B}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| A | B | AB | LHS A+AB | RHS A |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
K-map คือตารางที่จัดค่าความจริงไว้ในตำแหน่งพิเศษ (เรียงแบบ Gray code) เพื่อให้มองเห็นกลุ่มที่ลดรูปได้ทันที — ง่ายกว่าใช้พีชคณิตบูลีนมากเมื่อสมการมีหลายตัวแปร
ตัวอย่าง: $Y = \overline{A}\,B + A\overline{B} + AB$ → ใส่ค่า 1 ในช่องที่ Y=1
| A \ B | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
ตัวแปร A เป็นแถว · BC เป็นคอลัมน์เรียงแบบ Gray: 00 · 01 · 11 · 10 (ไม่ใช่ 00 01 10 11!)
| A \ BC | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
บางค่าอาจ"ไม่เกิดขึ้น"ในระบบจริง → ใส่ X (Don't Care) แล้วเอาไปรวมกลุ่มกับ 1 ได้เพื่อทำกลุ่มให้ใหญ่ขึ้น (หรือปล่อยไว้ก็ได้)
บวกบิต 2 ตัว (A, B) — เอาต์พุต: Sum (ผลบวก) และ Carry (ทด)
| A | B | S | C |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
บวก 3 บิต: A, B และ Carry-in ($C_{in}$) จากหลักก่อนหน้า — ใช้ต่อเป็นวงจรบวกหลายบิต
แปลงรหัส binary เป็นเอาต์พุตเส้นเดียวที่สอดคล้องกับค่านั้น (เช่น 3-to-8: อินพุต 3 บิต → เลือกเอาต์พุต 1 จาก 8 เส้น)
ตรงข้าม Decoder — รับอินพุตหลายเส้น (ทำงานทีละเส้น) แล้วแปลงเป็นรหัส binary สั้น
MUX รับข้อมูลหลายทางเข้า (Data) แล้วเลือกส่งออกแค่ 1 ทาง ตามสาย Selector — เหมือนสวิตช์หมุนเลือกช่อง
ตรงข้าม MUX — รับข้อมูล 1 ทาง แล้วส่งไปยังทางออก 1 จากหลายทาง ตาม selector
ฟลิปฟลอป = วงจรที่เก็บสถานะ (0 หรือ 1) ได้ 1 บิต เป็นหน่วยความจำพื้นฐานของวงจร Sequential — เปลี่ยนสถานะเมื่อมีสัญญาณ Clock (CLK)
Set (ตั้งค่า 1) และ Reset (ล้างค่า 0)
| S | R | Q(ถัดไป) | ความหมาย |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | Q (คงเดิม) | เก็บค่า |
| 0 | 1 | 0 | Reset |
| 1 | 0 | 1 | Set |
| 1 | 1 | — | ห้าม! (invalid) |
แก้ปัญหา "ห้าม" ของ SR — มีแค่ D เดียว ตามค่า D ตอน clock ↑
| D | Q(ถัดไป) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
เหมือน SR แต่เมื่อ J=K=1 จะสลับค่า (Toggle) แทนที่จะ invalid
| J | K | Q(ถัดไป) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | Q (คงเดิม) |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | $\overline{Q}$ (Toggle) |
T=1 → สลับค่าทุกครั้งที่ clock · T=0 → คงเดิม (เป็น JK ที่ต่อ J=K=T)
| T | Q(ถัดไป) |
|---|---|
| 0 | Q |
| 1 | $\overline{Q}$ |
ต่อ Flip-Flop (มักเป็น T ที่ Toggle ตลอด) เป็นทอด — clock ตัวแรกวิ่ง พอมันสลับจะไปเป็น clock ของตัวถัดไป (เหมือนลูกโซ่ล้ม)
อ่านค่า Q2 Q1 Q0 → ได้เลข binary นับขึ้น 000 → 001 → 010 → … → 111 → กลับ 000
ต่อ Flip-Flop (มักเป็น D) หลายตัวเป็นแถว — ทุกครั้งที่ clock ข้อมูลเลื่อนไปทีละช่อง (ซ้ายหรือขวา) เอาไว้เก็บ/ส่งข้อมูลหลายบิต
ต่อ Full Adder ตามจำนวนบิต — Carry ของหลักต่ำส่งต่อเป็น Carry-in ของหลักถัดไป
จำได้ไหม — "ลบ = บวกเลขเติม 2" (บทที่ 1) → เลยใช้วงจรบวกตัวเดียวทำลบได้!
ใช้สายควบคุม M สลับโหมด — วงจรเดียวทำได้ทั้งบวกและลบ
ก่อนจะหาความน่าจะเป็น เราต้องรู้ก่อนว่า"มีกรณีทั้งหมดกี่แบบ" และ "กรณีที่เราสนใจมีกี่แบบ" — การนับเลยเป็นขั้นตอนแรกสุด ถ้านับผิด ความน่าจะเป็นก็ผิดหมด
เมื่องานเป็นลำดับขั้นต่อเนื่อง (ทำขั้น 1 และ ขั้น 2) → คูณจำนวนวิธีของแต่ละขั้น
เมื่อเลือกทางใดทางหนึ่ง (ทำ A หรือ B แต่ไม่ทั้งคู่) → บวก
$n!$ = นับจำนวนวิธีเรียงของ n สิ่งให้ครบทุกชิ้น — เพราะตำแหน่งแรกเลือกได้ n ทาง ตำแหน่งถัดไปลดลงทีละตัว
เลือก $r$ จาก $n$ มาเรียงลำดับ — เช่น ใครอันดับ 1, 2, 3 ต่างกัน
เลือก $r$ จาก $n$ โดยไม่สนลำดับ — เช่น เลือกคน 3 คนเป็นกรรมการ (ไม่สนใจว่าใครชื่อก่อน)
ความน่าจะเป็น (Probability) = ตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ที่บอก"โอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิด"
0 = เกิดไม่ได้เลย · 1 = เกิดแน่นอน · 0.5 = เกิดหรือไม่เกิดพอๆ กัน
เอาไปทำอะไร: ตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน — ประกัน, การพนัน, การทดลอง, AI/ML
แปล: "ในกรณีทั้งหมด มีกี่เปอร์เซ็นต์ที่ตรงกับสิ่งที่เราอยากให้เกิด" — เช่นทอยเต๋า มีกรณีทั้งหมด 6 เกิด "เลขคู่" ได้ 3 กรณี → $P = 3/6 = 0.5$
ทำมต้องลบ? เพราะส่วนที่ซ้อนทับกัน ($A \cap B$) ถูกนับ 2 ครั้ง (จาก A และจาก B) → ต้องเอาออก 1 ครั้ง
เป็นการถามว่า "ถ้ารู้ว่า B เกิดแล้ว โอกาสที่ A จะเกิดเป็นเท่าไหร่" — เขียน $P(A|B)$ อ่านว่า "P of A given B"
เหตุการณ์ไม่ได้เกิดในความว่าง แต่เกิดในสถานการณ์ที่จำกัดลง (มีข้อมูลเพิ่ม)
ทำมหารด้วย P(B)? เพราะเมื่อ "ทราบว่า B เกิดแล้ว" กรอบของเราเหลือแค่ส่วน B (ไม่ใช่ทั้ง $S$ แล้ว) → ต้องหารด้วย $P(B)$ เพื่อ "ย่อขนาดกรอบ" ลงมา
ใช้หาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ต่อเนื่องเกิดพร้อมกัน (เช่น "โดนฝน และ เป็นหวัด")
A กับ B อิสระ = การเกิด B ไม่มีผลต่อ A เลย (รู้ว่า B เกิดก็ไม่ช่วยให้ทาย A ได้ดีขึ้น)
เรารู้ $P(A|B)$ แต่อยากได้ $P(B|A)$ กลับกัน — ชีวิตจริงเจอบ่อย:
เรารู้ $P(\text{บวก}|\text{เป็นโรค})$ จากแผ่นพับเครื่องตรวจ แต่ที่อยากรู้จริงๆ คือ $P(\text{เป็นโรค}|\text{บวก})$
ตัวแปรสุ่ม $X$ = เปลี่ยน "ผลลัพธ์ของการทดลอง" ให้เป็น "ตัวเลข"
ทำไมต้องทำ? — เพราะคณิตศาสตร์คำนวณตัวเลขได้ แต่คำนวณ "หัว/ก้อย", "แดง/ดำ" ไม่ได้ → แปลงเป็นเลขก่อนถึงจะหาค่าเฉลี่ย สูตร ฯลฯ ได้
$p(x) = P(X = x)$ บอกความน่าจะเป็นของแต่ละค่า — รวมแล้วต้องเท่ากับ 1 (ทุกกรณีรวมกันแน่นอน)
$E(X)$ = ค่าที่คาดว่าจะได้เฉลี่ยต่อครั้ง ถ้าทดลองซ้ำๆ กันเยอะๆ — เป็น "ศูนย์กลาง" ของการแจกแจง
ทำมคูณ $p(x)$? เพราะค่าที่เกิดบ่อย (p สูง) ควรมีน้ำหนักมากกว่า → เป็น "เฉลี่ยถ่วงน้ำหนัง" (ไม่ใช่เฉลี่ยตรงๆ)
$E(X)$ บอกแค่ศูนย์กลาง แต่บอกไม่ได้ว่าข้อมูลกระจายห่างจากศูนย์กลางแค่ไหน → ต้องใช้ Var
ทำมกำลังสอง? เพราะถ้าไม่ยกกำลัง เบี่ยงเบนบวกและลบจะหักล้างกันเป็น 0 → ยกกำลังสองทำให้ทุกค่าเป็นบวก
เพราะ Var ถูกยกกำลังสอง → หน่วยผิดจากข้อมูล (เช่น ข้อมูลเป็น cm แต่ Var เป็น cm²) → ถอดรากกลับเป็น cm เพื่อเทียบกับข้อมูลได้
สถานการณ์ต่างกัน → การแจกแจงต่างกัน — เลือกแบบที่เข้ากับโจทย์แล้วใช้สูตร $E$, Var ที่คนเขาคำนวณไว้แล้วได้เลย (ไม่ต้องคำนวณใหม่)
ผลแค่ "สำเร็จ(1)" ปัจจัย $p$ หรือ "ล้มเหลว(0)" — การทดลองพื้นฐานที่สุด
ทำ Bernoulli ซ้ำ $n$ ครั้งอิสระ → $X$ = จำนวนครั้งที่สำเร็จ
เช่น: ทอยเหรียญ 10 ครั้ง ได้หัวกี่ครั้ง · ส่งของ 100 ชิ้น ชำรุดกี่ชิ้น
$X$ = จำนวนครั้งที่ต้องลองจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก
ค่าต่อเนื่องมีอนันต์ค่าที่เป็นไปได้ → $P(X = \text{ค่าเดียว}) = 0$ เสมอ! (เช่น ส่วนสูงเป๊ะ 170.0000… cm โอกาส 0) → ต้องดูเป็นช่วง แทน
ทุกค่าในช่วงมีโอกาสเท่ากัน — เช่น สุ่มเลขระหว่าง 0 ถึง 1 (กราฟเป็นเส้นตรง)
เช่น รอจนลูกค้าเข้าร้าน, อายุการใช้งานชิ้นส่วน — เกี่ยวข้องกับ Poisson
รูประฆัง สมมาตรรอบค่าเฉลี่ย $\mu$ · กว้างตาม $\sigma$ — พบในธรรมชาติเกือบทุกอย่าง (ส่วนสูง, คะแนนสอบ, ความดัน) และเป็นรากฐานของสถิติ
บางครั้งเราสนใจความสัมพันธ์ระหว่าง 2 สิ่ง — เช่น "ส่วนสูงกับน้ำหนัก" หรือ "ชั่วโมงเรียนกับคะแนน" — ต้องดูคู่กัน ไม่ใช่ทีละตัว
ความน่าจะเป็น = รู้โมเดล → ทำนายข้อมูล (ทอยเต๋า → ทำนายหน้าที่ออก)
สถิติ = มีข้อมูลแล้ว → ทายโมเดล/ประชากร (เห็นคะแนนนักเรียน 100 คน → ทายเฉลี่ยทั้งประเทศ) — สถิติคือความน่าจะเป็นย้อนกลับ
ทำมหาร $n-1$ ไม่ใช่ $n$? เพราะใช้ $\bar{x}$ (ที่คำนวณจากตัวอย่างเดียวกัน) ทำให้ค่า"เบี่ยงเบนน้อยกว่าความจริง" → หาร $n-1$ เพื่อแก้ให้ไม่ต่ำไป (เรียก unbiased)
ไม่ว่าประชากรจะแจกแจงยังไงก็ตาม ถ้าขนาดตัวอย่าง $n$ ใหญ่พอ (มัก ≥ 30) → ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง $\bar{X}$ จะใกล้เคียงการแจกแจง Normal
คำว่า "ดิสครีต" (Discrete) แปลว่า "แยกส่วน" หรือ "ไม่ต่อเนื่อง" — คือคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับสิ่งที่นับเป็นจำนวนเต็มได้ (0, 1, 2, 3, ...) ตรงข้ามกับ "คณิตศาสตร์ต่อเนื่อง" (แคลคูลัส) ที่เกี่ยวกับทศนิยมและกราฟเรียบ
อาจจะคิดว่า "เรียนไปทำไม" — แต่จริง ๆ ดิสครีตอยู่ข้างหลังทุกอย่างที่คอมพิวเตอร์ทำ:
| สิ่งที่ใช้ทุกวัน | เกี่ยวกับดิสครีตเรื่องไหน | อธิบายง่าย ๆ |
|---|---|---|
| 💻 เขียนโปรแกรม (if-else) | ตรรกะ (Logic) | "ถ้า A และ B เป็นจริง → ทำ C" ก็คือตรรกะ p ∧ q → r |
| 🗄️ ฐานข้อมูล (SQL JOIN) | เซต (Set Theory) | การรวม/ตัดกันของตาราง = ยูเนียน/อินเตอร์เซกชัน |
| 🌐 อินเทอร์เน็ต / เครือข่าย | กราฟ (Graph Theory) | คอมพิวเตอร์ = จุดยอด · สายเคเบิล = เส้นเชื่อม |
| 🔐 รหัสลับ / ความปลอดภัย | ทฤษฎีจำนวน | การเข้ารหัสใช้จำนวนเฉพาะ (prime numbers) |
| 🗺️ GPS / หาเส้นทาง | อัลกอริทึม + กราฟ | หาทางสั้นที่สุด = หาเส้นทางในกราฟ |
| 🔍 Google Search | ตรรกะ + เซต + กราฟ | กรองผลลัพธ์, จัดอันดับ, โครงเว็บ |
ทั้งวิชามี 5 พื้นที่หลัก ที่สร้างต่อกันไปทีละขั้น:
ดิสครีตใช้สัญลักษณ์เยอะ — ไม่ต้องท่อจำทั้งหมดตอนนี้! เจอสัญลักษณ์ไหนไม่รู้จักในบทต่อ ๆ ไป → กลับมาดูที่บทนี้ได้เสมอ
สัญลักษณ์ที่ใช้บอกว่าอะไรจริง อะไรเท็จ และเชื่อมประโยคเข้าด้วยกัน — เหมือน + − × ÷ ของคณิตศาสตร์ แต่เป็นของความจริง
| สัญลักษณ์ | ชื่อ | อ่านว่า | แปล/ตัวอย่าง |
|---|---|---|---|
| p ∧ q | AND (เชื่อม) | "p และ q" | จริงเมื่อทั้งคู่จริง · เช่น "ฝนตก ∧ ฉันมีร่ม" |
| p ∨ q | OR (หรือ) | "p หรือ q" | จริงเมื่ออย่างน้อยหนึ่งจริง · เช่น "กาแฟ ∨ ชา" |
| ¬p | NOT (ไม่) | "ไม่ใช่ p" | กลับค่า: ถ้า p จริง → ¬p เท็จ · เช่น ¬(ฝนตก) = "ไม่ได้ฝนตก" |
| p → q | IMPLIES (แสดงว่า) | "ถ้า p แล้ว q" | เช่น "ถ้าฝนตก → ถนนเปียก" คือเหตุผลแบบ if-then |
| p ↔ q | IFF (ก็ต่อเมื่อ) | "p ก็ต่อเมื่อ q" | จริงเหมือนกันเท่านั้น · เช่น "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ↔ ด้านเท่ากัน 2 ด้าน" |
| ∀x | FOR ALL (ทุก) | "สำหรับทุก x" | เช่น ∀x (x² ≥ 0) = "ทุกจำนวนยกกำลังสองไม่ติดลบ" |
| ∃x | THERE EXISTS (มี) | "มี x ที่..." | เช่น ∃x (x > 5) = "มีจำนวนที่มากกว่า 5" (เช่น 6) |
| ∴ | THEREFORE | "ดังนั้น" | ใช้ตอนสรุปผลพิสูจน์ · เหมือนจุดสุดท้าย |
| ⊤ / ⊥ | TAUTOLOGY / CONTRADICTION | จริงเสมอ / เท็จเสมอ | ⊤ = จริงทุกกรณี · ⊥ = เท็จทุกกรณี |
เซต (Set) = "กลุ่มของสิ่งของที่ไม่ซ้ำกัน" เขียนในปีกกา { } — เช่น A = {1, 2, 3} คือเซตของเลข 1, 2, 3
| สัญลักษณ์ | ชื่อ | แปล/ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| x ∈ A | สมาชิก (member) | x อยู่ใน A · เช่น $2 \in \{1,2,3\}$ ✓ |
| x ∉ A | ไม่ใช่สมาชิก | x ไม่อยู่ใน A · เช่น $5 \notin \{1,2,3\}$ |
| A ⊆ B | เซตย่อย (subset) | ทุกตัวของ A อยู่ใน B · เช่น $\{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}$ |
| A ∪ B | ยูเนียน ∪ (รวม) | เอาสมาชิกทั้งสองมารวม · $\{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}$ |
| A ∩ B | อินเตอร์เซกชัน ∩ (ตัดกัน) | เฉพาะตัวที่มีในทั้งคู่ · $\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$ |
| A′ หรือ Aᶜ | คอมพลีเมนต์ (ส่วนต่าง) | ตัวที่ไม่อยู่ใน A (ในกรอบใหญ่) |
| A \ B | ผลต่าง (minus) | เอาสมาชิก A ที่ไม่ใช่สมาชิก B · $\{1,2,3\} \setminus \{2\} = \{1,3\}$ |
| ∅ | เซตว่าง (empty) | เซตที่ไม่มีสมาชิก · $\{\,\}$ = ∅ |
| |A| | จำนวนสมาชิก (cardinality) | $|\{a,b,c\}| = 3$ (นับได้ 3 ตัว) |
| 𝒫(A) | พาวเวอร์เซต (power set) | เซตของเซตย่อยทั้งหมด · เช่น $\mathcal{P}(\{1\}) = \{\emptyset, \{1\}\}$ |
เห็นตัวอักษรหนา ๆ แปลก ๆ → มันคือชื่อย่อของกลุ่มจำนวนแต่ละประเภท:
| สัญลักษณ์ | ชื่อ | คืออะไร | ตัวอย่าง |
|---|---|---|---|
| ℕ | Natural (ธรรมชาติ) | จำนวนนับตั้งแต่ 1 (หรือ 0) | 1, 2, 3, 4, … |
| ℤ | Integer (จำนวนเต็ม) | จำนวนเต็มรวมบวกและลบ | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| ℚ | Rational (ตรรกยะ) | เศษส่วน $\frac{p}{q}$ (เต็มหารเต็ม) | $\frac{1}{2}$, $3$, $-\frac{5}{7}$ |
| ℝ | Real (จำนวนจริง) | ทุกจำนวนบนเส้นจำนวน | $\pi$, $\sqrt{2}$, $3.7$, $-1$ |
| สัญลักษณ์ | ใช้ทำอะไร | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| f : A → B | ฟังก์ชัน f รับค่าจาก A ส่งไป B | $f(x) = x^2$ รับเลข → ส่งกำลังสอง |
| n! | แฟกทอเรียล = คูณจาก n ลงมาถึง 1 | $5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120$ |
| P(n,r) | เรียงสับเปลี่ยน (สนใจลำดับ) | เลือก 3 จาก 5 มาเรียงแถว |
| C(n,r) หรือ $\binom{n}{r}$ | คอมบิเนชัน (ไม่สนลำดับ) | เลือก 3 จาก 5 เป็นกลุ่ม |
| a mod n | เศษจากการหาร a ด้วย n | $7 \text{ mod } 3 = 1$ (เพราะ 7 ÷ 3 เหลือ 1) |
| V / E | ในกราฟ: จุดยอด / เส้นเชื่อม | V = จุดที่เห็น · E = เส้นที่ลาก |
| ≡ | "เทียบเท่า" (เหมือนกัน/สมมูล) | $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$ |
| | | "ที่ซึ่ง" (such that) | $\{x \mid x > 0\}$ = "เซตของ x ที่มากกว่า 0" |
| ∎ | "จบพิสูจน์" (QED) | เหมือนจุดท้ายประโยค — บอกว่าพิสูจน์เสร็จแล้ว |
ตรรกะเชิงประพจน์ (Propositional Logic) = การศึกษาว่าประโยคไหนเป็นจริง ประโยคไหนเป็นเท็จ และจะเชื่อมประโยคเหล่านั้นเข้าด้วยกันได้อย่างไร
เรียนทำไม? — เพราะคอมพิวเตอร์ "ตัดสินใจ" ด้วยตรรกะนี้! โค้ด if (A && B || !C) ก็คือตรรกะเชิงประพจน์พอดี → เข้าใจตรรกะ = เขียนโค้ด if-else ถูก
เอาประพจน์มาเชื่อมกัน สร้างประพจน์ใหม่ — เรียก ประพจน์ผสม (compound proposition)
| p | ¬p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
| p | q | p → q | ความหมาย |
|---|---|---|---|
| T | T | T | สัญญาแล้วทำ ✓ |
| T | F | F | สัญญาแล้วไม่ทำ ✗ |
| F | T | T | ไม่ได้สัญญาเลย ไม่ผิด |
| F | F | T | ไม่ได้สัญญาเลย ไม่ผิด |
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
"หรือ" แบบเลือกอย่างเดียว — จริงเมื่อ p กับ q ต่างกัน (อันเดียวจริง อันเดียวเท็จ)
| p | q | p∨q | ¬p | (p∨q)∧¬p |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F |
| T | F | T | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | F | T | F |
เหมือน "คูณก่อนบวก" — ตรรกะก็มีลำดับ ต้องทำตามนี้:
"สมมูล" (≡) หมายความว่า สองนิพจน์มีtruth table เหมือนกันทุกแถว — เขียนนิพจน์หนึ่งแทนอีกนิพจน์ได้โดยผลไม่เปลี่ยน
เหมือน "2+3" กับ "5" — ค่าเท่ากัน เขียนแทนกันได้
เอาไปทำอะไร: ลดรูปนิพจน์ซับซ้อน → ง่ายขึ้น (เหมือนลดสมการ)
| ชื่อกฎ | สมมูล | แปลง่าย ๆ |
|---|---|---|
| Double negation | $\neg(\neg p) \equiv p$ | ไม่ไม่ = ใช่ (2 ชั้นของ "ไม่" ยกเลิกกัน) |
| Commutative | $p \wedge q \equiv q \wedge p$ $p \vee q \equiv q \vee p$ | สลับที่ได้ (เหมือน $a+b = b+a$) |
| Associative | $(p\!\wedge\!q)\!\wedge\!r \equiv p\!\wedge\!(q\!\wedge\!r)$ | จับกลุ่มยังไงก็ได้ (เหมือนวงเล็บบวก) |
| Distributive | $p\!\wedge\!(q\!\vee\!r) \equiv (p\!\wedge\!q)\!\vee\!(p\!\wedge\!r)$ | แจกเหมือน $a(b+c) = ab+ac$ |
| Identity | $p \wedge T \equiv p$ $p \vee F \equiv p$ | คูณ 1 หรือ บวก 0 ค่าไม่เปลี่ยน |
| Domination | $p \vee T \equiv T$ $p \wedge F \equiv F$ | บวก ∞ = ∞ · คูณ 0 = 0 |
| Idempotent | $p \wedge p \equiv p$ $p \vee p \equiv p$ | เชื่อมตัวเอง = ตัวเอง |
| Negation | $p \vee \neg p \equiv T$ $p \wedge \neg p \equiv F$ | "จริงหรือไม่จริง" = จริงเสมอ |
| Absorption | $p \vee (p \wedge q) \equiv p$ $p \wedge (p \vee q) \equiv p$ | "รวมกับส่วนย่อย" = ตัวใหญ่ |
แปล: "ไม่ใช่ (A และ B)" = "ไม่ใช่ A หรือ ไม่ใช่ B" — สลับ ∧↔∨ และใส่ ¬ หน้าทุกตัว
แปล: "ถ้า p แล้ว q" = "ไม่ใช่ p หรือ q" — ทำไม? เพราะ p→q เท็จทีเดียวคือ p จริงแต่ q เท็จ → แปลงเป็น ¬p∨q ก็เท็จทีเดียวที่ p จริง q เท็จเหมือนกัน
แปล: "ถ้า p แล้ว q" สมมูลกับ "ถ้าไม่ใช่ q แล้วไม่ใช่ p" — พลิกทั้งสองด้านและสลับ!
พีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra) = เปลี่ยนตรรกะให้เป็นพีชคณิต — ใช้ค่าแค่ 1 (จริง) และ 0 (เท็จ) แทน T/F
แล้วมีการดำเนินการเหมือน บวก/คูณ/ลบ ของเลขปกติ
เรียนทำไม? — เพราะคอมพิวเตอร์ทำงานด้วย 0/1 ทุกอย่าง! → วงจรคอมพิวเตอร์, การออกแบบ CPU, การเขียนโค้ด if
ล้วนใช้บูลีน
ต่อจากบทที่ 2: บทที่ 2 สอนตรรกะ (T/F) → บทนี้เปลี่ยนเป็นตัวเลข (1/0) เพื่อคำนวณได้
ฟังก์ชันบูลีน = ฟังก์ชันที่รับ 0/1 เข้า → คืน 0/1 ออก — เช่น $f(x,y) = x + \overline{x} \cdot y$
กฎเหล่านี้ใช้ลดรูปนิพจน์ให้สั้นลง — เหมือนลดสมการทั่วไป แต่อยู่ในโลก 0/1
| ชื่อกฎ | รูป OR (+) | รูป AND (·) |
|---|---|---|
| Identity | $x + 0 = x$ | $x \cdot 1 = x$ |
| Domination | $x + 1 = 1$ | $x \cdot 0 = 0$ |
| Idempotent | $x + x = x$ | $x \cdot x = x$ |
| Complement | $x + \overline{x} = 1$ | $x \cdot \overline{x} = 0$ |
| Involution | $\overline{\overline{x}} = x$ | |
| Commutative | $x+y = y+x$ | $x \cdot y = y \cdot x$ |
| Associative | $(x+y)+z = x+(y+z)$ | $(xy)z = x(yz)$ |
| Distributive | $x+yz = (x+y)(x+z)$ | $x(y+z) = xy+xz$ |
| Absorption | $x + xy = x$ | $x(x+y) = x$ |
| Consensus ⭐ | $x + \overline{x} \cdot y = x + y$ | |
จำง่าย: "ตัดขีดบน · แบ่งลงทุกตัว · สลับ $+ \leftrightarrow \cdot$"
หลักการคู่ = ถ้าสมการหนึ่งเป็นจริง → สมการ "คู่" ก็เป็นจริง โดยสลับ:
เป้าหมาย: ทำนิพจน์ให้สั้นที่สุด = วงจรน้อยลง = ถูกกว่า เร็วกว่า
ใช้กฎด้านบนมาจัดรูปนิพจน์ ทีละขั้น
เซตของตัวดำเนินการที่เขียนฟังก์ชันบูลีนใด ๆ ก็ได้ เรียกว่า "functionally complete"
อนุมาน (Inference) = การสรุปข้อความใหม่ที่ถูกต้อง จากข้อความที่รู้ว่าจริงแล้ว — เหมือน "นักสืบ" นำเบาะแสมาสรุปคดี
เรียนทำไม? — เพื่อให้ให้เหตุผลถูกต้อง ไม่หลอกตัวเอง → ใช้ใน: พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ · ออกแบบ AI ระบบผู้เชี่ยวชาญ · แยกแยะ "เหตุผลดี" จาก "เหตุผลหลอก"
กฎเหล่านี้คือ"รูปแบบที่ถูกต้อง" — ถ้าเหตุของคุณเข้ารูปนี้ → ข้อสรุปถูกเสมอ
| # | ชื่อกฎ | รูปแบบ | แปลง่าย ๆ |
|---|---|---|---|
| 1 | Modus Ponens | $p,\; p{\to}q \;\therefore\; q$ | "p จริง + ถ้า p แล้ว q → q จริง" |
| 2 | Modus Tollens | $\neg q,\; p{\to}q \;\therefore\; \neg p$ | "q เท็จ + ถ้า p แล้ว q → p ต้องเท็จ" |
| 3 | Hypothetical Syllogism | $p{\to}q,\; q{\to}r \;\therefore\; p{\to}r$ | "โซ่: ถ้า p แล้ว r" (ต่อกันได้) |
| 4 | Disjunctive Syllogism | $p{\vee}q,\; \neg p \;\therefore\; q$ | "p หรือ q + ไม่ใช่ p → ต้องเป็น q" |
| 5 | Addition | $p \;\therefore\; p{\vee}q$ | "p จริง → pหรืออะไรก็ได้ ก็ยังจริง" |
| 6 | Simplification | $p{\wedge}q \;\therefore\; p$ | "pและq จริง → p จริง (เอาแค่ข้างเดียว)" |
| 7 | Conjunction | $p,\; q \;\therefore\; p{\wedge}q$ | "p จริงและ q จริง → ทั้งคู่จริง" |
| 8 | Resolution | $p{\vee}q,\; \neg p{\vee}r \;\therefore\; q{\vee}r$ | "p ยกเลิก p → เหลือ qหรือr" |
"ถ้ารู้ว่า p จริง และ ถ้า p แล้ว q → สรุปได้ว่า q จริง" — เป็นกฎที่ใช้บ่อยที่สุดในการพิสูจน์
if (raining) road_wet = true; — ถ้า raining = true → road_wet ต้องเป็น trueFallacy = การให้เหตุผลที่ดูเหมือนถูกแต่ผิด — ข้อสอบชอบหลอก! ดูเหมือน Modus Ponens/Tollens แต่สลับที่
| Fallacy | รูปแบบ (ผิด!) | ดูเหมือนกฎไหน | ทำไมผิด? |
|---|---|---|---|
| Affirming the Conclusion | $q, \; p{\to}q \;\not\therefore\; p$ | Modus Ponens สลับที่ | "ถนนเปียก" ไม่ได้แปลว่า "ฝนตก" — อาจเปียกเพราะหกน้ำ |
| Denying the Hypothesis | $\neg p, \; p{\to}q \;\not\therefore\; \neg q$ | Modus Tollens สลับที่ | "ไม่ได้ฝนตก" ไม่ได้แปลว่า "ถนนไม่เปียก" — อาจเปียกเพราะเหตุอื่น |
เอากฎอนุมานมาใช้ทีละขั้น จนถึงข้อสรุป — แต่ละขั้ต้องบอกชื่อกฎที่ใช้
เมื่อเหตุมี ∀ (ทุก) หรือ ∃ (มี) → ต้องใช้กฎพิเศษนี้
| กฎ | รูปแบบ | แปลง่าย ๆ |
|---|---|---|
| Universal Instantiation | $\forall x\, P(x) \;\therefore\; P(c)$ | "ทุกคนตาย → สมชายตาย" (เอาทั่วไปมาใช้กับเฉพาะเจาะจง) |
| Universal Generalization | $P(c)$ สำหรับ $c$ ใด ๆ $\;\therefore\; \forall x\, P(x)$ | "เห็นว่าทุกตัวอย่างเป็นจริง → สรุปว่าทุกตัวจริง" |
| Existential Instantiation | $\exists x\, P(x) \;\therefore\; P(c)$ | "มีคนเก่ง → เรียกคนนั้น $c$ แล้วใช้งาน" (ตั้งชื่อให้) |
| Existential Generalization | $P(c) \;\therefore\; \exists x\, P(x)$ | "สมชายเก่ง → มีคนเก่งอย่างน้อยหนึ่งคน" |
บทที่ 2 เรียนประพจน์ (จริง/เท็จ) — แต่บางประโยคไม่ใช่ประพจน์ เพราะมี "ตัวแปร" เช่น "$x > 3$" — ไม่รู้ว่าจริงหรือเท็จจนกว่าจะรู้ $x$
Quantifier มาแก้ปัญหานี้ — บอกว่าตัวแปรนั้นเป็นยังไง: "ทุกตัว" (∀) หรือ "มีอย่างน้อยหนึ่งตัว" (∃)
เรียนทำไม? — เพื่อเขียนกฎ/สูตรที่เป็นจริงสำหรับทุกกรณี เช่น "ทุกจำนวนเต็มบวกมีตัวประกอบเฉพาะ" · หรือ "มีจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $n$"
Predicate (ฟังก์ชันประพจน์) = ประโยคที่มีตัวแปร $x$ → พอใส่ค่า $x$ แล้วกลายเป็นประพจน์ (จริง/เท็จ)
| $\forall x\, P(x)$ | $\exists x\, P(x)$ | |
|---|---|---|
| อ่านว่า | "ทุกตัวเป็น P" | "มีบางตัวเป็น P" |
| จริงเมื่อ | $P$ จริงทุกตัว | $P$ จริงอย่างน้อย 1 ตัว |
| เท็จเมื่อ | มี 1 ตัวที่ $P$ เท็จ | $P$ เท็จทุกตัว |
| วิธีโต้แย้ง | หา counterexample | ตรวจทุกตัวว่าไม่มี |
| เหมือน | AND: $P(a)\!\wedge\!P(b)\!\wedge\!\cdots$ | OR: $P(a)\!\vee\!P(b)\!\vee\!\cdots$ |
วิธี: หา คำสำคัญ ในประโยค → เลือก quantifier + predicate ให้ตรง
| คำในภาษาอังกฤษ | ใช้ quantifier ไหน |
|---|---|
| "for all", "every", "each", "all" | ∀ |
| "there exists", "some", "at least one" | ∃ |
| "there exists a unique", "exactly one" | ∃! |
| "no", "none", "there does not exist" | ¬∃ หรือ ∀¬ |
กฎสำคัญ: "ไม่ใช่ทุกตัวที่..." = "มีบางตัวที่ไม่..."
| เดิม | นิเสธ | แปลไทย |
|---|---|---|
| $\forall x\, P(x)$ "ทุกตัวเป็น P" | $\exists x\, \neg P(x)$ "มีบางตัวไม่เป็น P" | "ไม่ใช่ทุกคนเก่ง" = "มีคนไม่เก่ง" |
| $\exists x\, P(x)$ "มีตัวที่เป็น P" | $\forall x\, \neg P(x)$ "ทุกตัวไม่เป็น P" | "ไม่มีใครเก่ง" = "ทุกคนไม่เก่ง" |
เมื่อมีตัวแปร 2 ตัวขึ้นไป → ต้องใช้ quantifier หลายตัวซ้อนกัน — ลำดับสำคัญ!
| รูปแบบ | อ่านว่า | ตัวอย่าง ($P(x,y) = x < y$) |
|---|---|---|
| $\forall x\, \forall y$ | "สำหรับทุก $x$ และทุก $y$" | ทุกคู่ของเลข — $x < y$ หมดเลย (เท็จ เพราะ $1 < 1$ เท็จ) |
| $\exists x\, \exists y$ | "มี $x$ และมี $y$" | มีคู่ที่ $x < y$ (จริง เช่น $1 < 2$) |
| $\forall x\, \exists y$ | "สำหรับทุก $x$ มี $y$ ที่..." | ทุก $x$ มี $y$ ที่ $x < y$ (จริง เลือก $y = x+1$) |
| $\exists y\, \forall x$ | "มี $y$ หนึ่งตัวที่ใช้กับทุก $x$" | มี $y$ ที่มากกว่าทุก $x$ (เท็จ ใน $\mathbb{Z}$ เพราะไม่มีเลขใหญ่สุด) |
นิเสธหลายชั้น → ทำทีละ quantifier จากนอกเข้าใน — สลับ ∀↔∃ และใส่ ¬ หน้า predicate ตัวสุดท้าย
พิสูจน์ (Proof) = อธิบายทีละขั้นด้วยตรรกะล้วน ๆ ว่าทำไมข้อความหนึ่งถึงเป็นจริง
ทำไมต้องพิสูจน์? — เพราะการ "เช็คตัวอย่าง" ไม่พอ! ถ้าต้องการบอกว่าสูตรใช้ได้กับทุกจำนวน (∞ กรณี) ต้องพิสูจน์ ไม่ใช่แค่ทดสอบไม่กี่ตัว
เอาไปทำอะไร: ยืนยันว่าอัลกอริทึมถูกต้องเสมอ · สูตรคณิตศาสตร์ใช้ได้ · โครงสร้างข้อมูลทำงานถูก
การพิสูจน์ส่วนใหญ่ในวิชานี้เกี่ยวกับจำนวนเต็ม — ต้องเข้าใจนิยามเหล่านี้ก่อน
วิธี: ใช้นิยาม + สมบัติที่รู้แล้ว → ดำเนินตรงไปยังสิ่งที่ต้องพิสูจน์
ใช้เมื่อไหร่? เมื่อเจอข้อความแบบ "ทุก..." (universal) แล้วสงสัยว่ามันผิด → แค่หา 1 ตัวอย่างที่ขัดแย้ง (counterexample) ก็โต้แย้งได้
ทำไมหาแค่ 1 ตัว? — เพราะ "ทุก" หมายถึงไม่มีข้อยกเว้น → มีข้อยกเว้นแค่ 1 ตัวก็พิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นเท็จ
วิธี: แบ่งเป็นหลายกรณีที่ครอบคลุมทุกเหตุการณ์ → พิสูจน์แต่ละกรณีแยกกัน → รวมครบ
วิธี: ถ้าต้องพิสูจน์ $p \to q$ แต่ทำตรง ๆ ยาก → พิสูจน์ $\neg q \to \neg p$ แทน (มีค่าเท่ากัน!)
เพราะ $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$ (contrapositive — สมมูลเสมอ)
วิธี: สมมติว่าสิ่งที่ต้องพิสูจน์เป็นเท็จ → ดำเนินไปจนได้ผลที่เป็นไปไม่ได้ (ขัดแย้ง) → แปลว่าสมมติฐานผิด → ข้อความเดิมถูก
ใช้เมื่อไหร่? พิสูจน์ข้อความที่เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ $n \ge n_0$ — เช่นสูตรผลรวม, อสมการ, การหารลงตัว
หลักการ: เหมือน"โดมิโนล้ม" — ถ้าตัวแรกล้ม และทุกตัวดันตัวถัดไปล้ม → ล้มทั้งแถว
อัลกอริทึม (Algorithm) = ลำดับขั้นตอนที่ชัดเจนและจบได้ เพื่อแก้ปัญหาหนึ่ง
เรียนทำไม? — เพราะมีหลายวิธีแก้ปัญหาเดียวกัน → ต้องรู้ว่าวิธีไหนดีกว่า (เร็วกว่า/ประหยัดกว่า)
เอาไปใช้ที่ไหน: Google Search · GPS หาทางสั้น · การเรียงข้อมูล · การเข้ารหัส · ทุกอย่างที่คอมพิวเตอร์ทำ!
| # | คุณสมบัติ | แปล | ตัวอย่างที่ผิด |
|---|---|---|---|
| 1 | Input | รับข้อมูลเข้า (0 หรือมากกว่า) | ไม่รับอะไรเลยก็ได้ แต่ต้องบอก |
| 2 | Output | ให้ผลลัพธ์ออก (อย่างน้อย 1) | รันแล้วไม่ได้อะไรออกมา → ไม่ใช่ algorithm |
| 3 | Definiteness | แต่ละขั้นชัดเจน ไม่กำกวม | "เพิ่มเกลือนิดหน่อย" — นิดหน่อยคือเท่าไหร่? ✗ |
| 4 | Finiteness | จบได้ในเวลาจำกัด | วนลูปไม่รู้จบ → ไม่ใช่ algorithm (ค้าง!) |
| 5 | Effectiveness | แต่ละขั้นทำได้จริง | "หารด้วย 0" → ทำไม่ได้ → ไม่ใช่ algorithm |
เขียนเหมือนโค้ดแต่ไม่ติดภาษาโปรแกรมใด — คนอ่านรู้เรื่อง แล้วแปลเป็นภาษาใดก็ได้ (Python, Java, C)
วิธี: เริ่มจากตัวแรก → ดูทีละตัว → เจอก็หยุด
วิธี: เปรียบเทียบคู่ใกล้เคียง → สลับถ้าผิดลำดับ → ทำซ้ำจนครบ
Big-O บอกว่าเมื่อข้อมูลใหญ่ขึ้น ($n$ เยอะ) → เวลาทำงานเพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหน
ทำไมต้องสน? — อัลกอริทึม 2 ตัวอาจเร็วใกล้กันเมื่อ $n=10$ แต่ $n = 1{,}000{,}000$ → ต่างกับันมหาศาล!
| Big-O | ชื่อ | $n=10$ | $n=1000$ | $n=10^6$ | ตัวอย่าง |
|---|---|---|---|---|---|
| $O(1)$ | คงที่ | 1 | 1 | 1 | เข้าถึง A[0] |
| $O(\log n)$ | logarithm | 3 | 10 | 20 | Binary Search |
| $O(n)$ | เชิงเส้น | 10 | $10^3$ | $10^6$ | Linear Search |
| $O(n \log n)$ | เกือบเชิงเส้น | 30 | $10^4$ | $2{\times}10^7$ | Merge Sort |
| $O(n^2)$ | กำลังสอง | 100 | $10^6$ | $10^{12}$ | Bubble Sort |
| $O(2^n)$ | เลขชี้กำลัง | 1024 | ∞ | ∞ | ทดลองทุกกรณี |
เซต (Set) = กลุ่มของสิ่งของที่ไม่ซ้ำกัน (ไม่มีลำดับ ไม่นับซ้ำ) — เขียนในปีกกา { }
เรียนทำไม? — เซตคือเครื่องมือจัดการกลุ่มข้อมูล: SQL JOIN = ∪∩ · Python set() · กรองผลการค้นหา
$A \subseteq B$ หมายความว่า ทุกสมาชิกของ A อยู่ใน B — เหมือน "A อยู่ในวง B"
Power set ของ $A$ = เซตที่บรรจุเซตย่อยของ A ทั้งหมด (รวม ∅ และ A เอง)
เหมือน + − × ÷ ของเลข แต่เป็นของกลุ่มข้อมูล
| ชื่อ | สัญลักษณ์ | แปล | ตัวอย่าง ($A{=}\{1,2,3\}$, $B{=}\{2,3,4\}$) |
|---|---|---|---|
| Union | $A \cup B$ | รวมทั้งสอง (เอาหมด) | $\{1,2,3,4\}$ |
| Intersection | $A \cap B$ | ตัดกัน (มีในทั้งคู่) | $\{2,3\}$ |
| Difference | $A - B$ หรือ $A \setminus B$ | ใน A แต่ไม่ใช่ B | $\{1\}$ |
| Complement | $\overline{A}$ หรือ $A'$ | ที่ไม่ใช่ A (ใน $U$) | $U \setminus A$ |
| Symmetric Diff | $A \triangle B$ | ใน A หรือ B แต่ไม่ใช่ทั้งคู่ | $\{1, 4\}$ |
เซตก็มีกฎเดียวกันกับบูลีน (บทที่ 3) — แค่เปลี่ยน ∧→∩, ∨→∪, 0→∅, 1→$U$
| ชื่อ | รูป Union | รูป Intersection |
|---|---|---|
| Identity | $A \cup \emptyset = A$ | $A \cap U = A$ |
| Domination | $A \cup U = U$ | $A \cap \emptyset = \emptyset$ |
| Idempotent | $A \cup A = A$ | $A \cap A = A$ |
| Complement | $A \cup \overline{A} = U$ | $A \cap \overline{A} = \emptyset$ |
| Commutative | $A \cup B = B \cup A$ | $A \cap B = B \cap A$ |
| Associative | $(A\!\cup\!B)\!\cup\!C = A\!\cup\!(B\!\cup\!C)$ | $(A\!\cap\!B)\!\cap\!C = A\!\cap\!(B\!\cap\!C)$ |
| Distributive | $A\!\cup\!(B\!\cap\!C) = (A\!\cup\!B)\!\cap\!(A\!\cup\!C)$ | $A\!\cap\!(B\!\cup\!C) = (A\!\cap\!B)\!\cup\!(A\!\cap\!C)$ |
| De Morgan | $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ · $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ | |
คอมพิวเตอร์เก็บเซตเป็น bit string (สายเลข 0/1) — แต่ละ bit = สมาชิก 1 ตัว (1=มี, 0=ไม่มี)
ฟังก์ชัน = กฎที่ใส่ค่าได้ค่าเดียวเสมอ — จากเซต A (domain) ไปเซต B (codomain)
เอาไปทำอะไร: แปลงข้อมูล, แมปค่า, พื้นฐานฟังก์ชันในโปรแกรม
ความสัมพันธ์ = เซตของคู่ที่สัมพันธ์กัน (กว้างกว่าฟังก์ชัน — อนุญาตให้ input เดียวได้หลาย output)
นิยามสูตรอ้างถึงตัวมันเอง เช่นแฟกทอเรียล: $n! = n \times (n-1)!$ — ใช้ในอัลกอริทึมที่แบ่งปัญหาใหญ่เป็นเล็ก
กราฟ = จุดยอด (Vertex, V) ต่อกันด้วยเส้นเชื่อม (Edge, E) — เป็นโครงสร้างข้อมูล
เอาไปทำอะไร: แผนที่ (หาเส้นทาง), เครือข่ายสังคม (เพื่อน-เพื่อน), โครงเว็บ, การจัดตาราง
Tree = กราฟที่เชื่อมต่อและไม่มีวงวน (no cycle) — เหมือนต้นไม้มีกิ่งแต่ไม่วน